毕业论文想写一些跟 Copula 有关的东西。之前在寒假的时候，已经阅读了一些文献，算是大概弄明白了 Copula 是什么。简单来说，它可以看作是一种连接函数，即把随机变量的联合分布与其各自的边缘分布连接起来。用一个简单的式子表达，就是 \(F_{XY}(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y))\)，其中的 \(C(\cdot,\cdot)\) 就是传说中的 Copula。

进一步来说，Copula 有一个更有意思的含义。我们知道，如果 \(X\sim F_X(x)\)，那么 \(U=F_X(X)\sim U(0,1)\)，即将一个随机变量的分布函数作用到这个随机变量上时，它将变成一个 \((0,1)\) 上的均匀分布。类似地，也有 \(V=F_Y(Y)\sim U(0,1)\)，于是乎，

\[\begin{array}{ll}P(U\le u, V\le v)&=P(F_X(X)\le u, F_Y(Y)\le v)=P(X\le F_X^{-1}(u),Y\le F_Y^{-1}(v))\\&=F_{XY}(F_X^{-1}(u),F_Y^{-1}(v))=C(u,v)\end{array}\]

这就说明，式中的 Copula 函数正是U和V的联合分布。在这个意义上，两个随机变量的分布函数可以被巧妙地拆成三个部分：两个边缘分布，以及另外一个联合分布。这条性质使得分布的建模更具灵活性。在很久很久以前，我们为了描述 \((X,Y)\) 的联合分布，一般都只用一个单一的分布族，而且这个分布族的结构也不会太复杂，否则写出来的公式会让人难以忍受。此外，限定了联合分布就相当于隐性地限定了边缘分布，这有时候不符合实际。而用 Copula 的分解公式，我们就可以分别指定边缘分布和联合结构的形式，使得模型的解释力更强。此奇妙之一也。

关于 Copula 函数，有一个重要的不等式，即对任意的一个 Copula 函数 \(C(\cdot,\cdot)\) 以及任意满足定义域的实数 \(u\) 和 \(v\)，有

\[\max\{u+v-1,0\}\le C(u,v)\le \min\{u,v\}\]

特别地，不等式的左右两端也是两个 Copula 函数，分别称为下界 Copula 和上界 Copula。当两个随机变量的 Copula 函数达到上界时，这两个随机变量将是完全的“正相关”；反之，达到下界时将是完全的“负相关”。在 Copula 中，完全“正相关”是这样定义的：假设有一个随机向量 \((X, Y)\)，\((x1, y1)\) 和 \((x2, y2)\) 是它的两个实现值，那么 \((x1 - x2)\) 与 \((y1 - y2)\) 符号相同的概率为1；类似地，完全“负相关”就是它们符号相反的概率为1。任何一个 Copula 函数，都一致地被上界 Copula 和下界 Copula 所包围，所以 Copula 函数是对随机变量之间相关性或依赖性的一种度量。此奇妙之二也。

如果上面的这些都不够让你兴奋的话，那么可以看看下面这条性质。这一条说的是，如果随机向量 \((X, Y)\) 的 Copula 函数是 \(C(u, v)\) 的话，那么对于两个单调不减的函数 \(f\) 和 \(g\)，随机向量 \((f(X), g(Y))\) 的 Copula 函数将依然是 \(C(u, v)\)！这一点很容易让人联想到 Spearman 秩相关系数，它对于这种单调变换也可以保持相关系数不变，但 Spearman 秩相关系数只是利用了数据秩的信息，而 Copula 则是在分布的级别上保持变量依存关系的不变性。此奇妙之三也。

好了，奇妙说到这里，就谈谈我的一些困惑了。简单说来是四个字：干嘛用的？由于我才疏学浅，我总感觉使用 Copula 的主要目的依然是对分布进行估计和拟合，那么它相对于传统的一些方法而言，优势在哪儿呢？如果说灵活性是其最大的优势，那我不仅要说，传统的估计方法只是对于一个分布有模型误设的风险，现在凭空多出的两个待估计分布，其增加的风险会不会大于灵活性所减少的风险呢？再进一步说，如果采用的是非参数的密度估计方法，那么传统方法与 Copula 方法都没有模型误设的问题（我们一般认为非参密度估计没有模型误差，只有估计误差），但 Copula 方法多出了两个待估计的分布，给人的感觉就是误差一定会比直接估计的要大，这是不是说非参数密度估计在 Copula 中就完全不适用了呢？可是实际问题中参数方法总是有很大的局限，特别是样本量很大时非参方法明显具有很大的优势，如果这样就被 Copula 拒之门外是不是又太可惜了呢？不解啊，不解。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索……