标准正态分布的分布函数 \(\Phi(x)\) 可以说是统计计算中非常重要的一个函数，基本上有正态分布的地方都或多或少会用上它。在一些特定的问题中，我们需要大量多次地计算这个函数的取值，比如我经常需要算正态分布与另一个随机变量之和的分布，这时候就需要用到数值积分，而被积函数就包含 \(\Phi(x)\)。如果 \(Z\sim N(0,1), X\sim f(x)\)，\(f\) 是 \(X\) 的密度函数，那么 \(Z+X\) 的分布函数就是

我们知道，\(\Phi(x)\) 没有简单的显式表达式，所以它需要用一定的数值方法进行计算。在大部分的科学计算软件中，计算的精度往往是第一位的，因此其算法一般会比较复杂。当这个函数需要被计算成千上万次的时候，速度可能就成为了一个瓶颈。

当然有问题就会有对策，一种常见的做法是略微放弃一些精度，以换取更简单的计算。在大部分实际应用中，一个合理的误差大小，例如 \(10^{-7}\)，一般就足够了。在这篇文章中，给大家介绍两种简单的方法，它们都比R中自带的 pnorm() 更快，且误差都控制在 \(10^{-7}\) 的级别。

第一种办法来自于经典参考书 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions 的公式 26.2.17。其基本思想是把 \(\Phi(x)\) 表达成正态密度函数 \(\phi(x)\) 和一个有理函数的乘积。这种办法可以保证误差小于 \(7.5\times 10^{-8}\)，一段C++实现可以在这里找到。（代码中的常数与书中的略有区别，是因为代码是针对误差函数 \(\mathrm{erf}(x)\) 编写的，它与 \(\Phi(x)\) 相差一些常数）

我们来对比一下这种方法与R中 pnorm() 的速度，并验证其精度。

library(Rcpp)
sourceCpp("test_as26217.cpp")

x = seq(-6, 6, by = 1e-6)
system.time(y <- pnorm(x))
## user  system elapsed
## 1.049   0.000   1.048
system.time(asy <- r_as26217ncdf(x))
## user  system elapsed
## 0.293   0.019   0.311
max(abs(y - asy))
## [1] 6.968772e-08

可以看出，A&S 26.2.17 的速度大约是 pnorm() 的三倍，且误差也在预定的范围里，是对计算效率的一次巨大提升。

那么还有没有可能更快呢？答案是肯定的，而且你其实已经多次使用过这种方法了。怎么，不相信？看看下面这张图，你就明白了。

没错，这种更快的方法其实就是两个字：查表。它的基本想法是，我们预先计算好一系列的函数取值 \((x_i,\Phi(x_i))\)，然后当我们需要计算某个点 \(x_0\) 时，就找到离它最近的两个点 \(x_k\) 和 \(x_{k+1}\)，再用线性插值的方法得到 \(\Phi(x_0)\) 的近似取值：

什么？觉得这个方法太简单了？先别急，这里面还有不少学问。之前我们说了，我们需要保证这种方法的误差不超过 \(\epsilon=10^{-7}\)，因此就需要合理地选择预先计算的点。由于 \(\Phi(-x)=1-\Phi(x)\)，我们暂且只需要考虑 \(x\) 为正的情况。如果让 \(x_i = ih,i=0,1,\ldots,N\)，那么对函数 \(f\) 进行线性插值的误差将不超过（来源）

其中 \(\Vert f’’ \Vert_{\infty}\) 是函数二阶导绝对值的最大值。对于正态分布函数来说，它等于 \(\phi(1)\approx 0.242\)。于是令 \(E(x)=10^{-7}\)，我们就可以解出 \(h\approx 0.001818\)。最后，只要 \(x_N>5.199\)，即 \(N\ge 2860\) 并另所有 \(x>x_N\) 的取值等于1，就可以保证整个实数域上 \(\Phi(x)\) 的近似误差都不超过 \(10^{-7}\)。

这种简单方法的实现我放在了 Github 上，源程序和测试代码也可以在文章最后找到。下面给出它的表现：

library(Rcpp)
sourceCpp("test_fastncdf.cpp")

x = seq(-6, 6, by = 1e-6)
system.time(fasty <- r_fastncdf(x))
## user  system elapsed
## 0.043   0.024   0.066
max(abs(y - fasty))
## [1] 9.99999e-08

与之前的结果相比，相当于速度是 pnorm() 的15倍！

我们似乎一直以为，在计算机和统计软件普及以后，一些传统的做法就会慢慢被淘汰，例如现在除了考试，或许大部分的时间我们都是在用软件而不是正态概率表。从教学与实际应用的角度来看，这种做法是应该进行推广和普及的，但这也不妨碍我们从一些“旧知识”中汲取营养。关于这种大巧若拙的做法的故事还有很多，比如广为流传的这一则。在计算资源匮乏的年代，科学家们想出了各种巧妙的办法来解决他们遇到的各种问题。现如今计算机的性能已经远不是当年可以媲迹，但前人的很多智慧却依然穿透了时间来为现在的我们提供帮助，不得不说这也是一种缘分吧。

附：实现和测试源程序